Beklan hocadan aldığım anahtarlanmış doğrusal sistemler projemi bitirdim. Sağolsun hocam da beğendi. Projeyi Latex’te yazmak ilk başta yorucu gelse de eğlenceliydi. İlk önce matematiksel temelleri basitçe anlatmaya çalıştım. Ardından anahtarlanmış sistemleri anlattım ve bazı kararlılık problemlerine değindim. Aslında tersinebilirlik (invertibility) konusunu da anlatmayı düşünüyordum ancak giriş belgesi için fazla ayrıntı bir konu olacağından yazmadım. Bu tarz bir belge yazımında ise yapılmaması gerekenin öğrenirken öğrenilen konuyu bilgisayara not etmemek olduğunu gördüm. Aslında sürekli yavaş yavaş yazsaymışım çok daha rahat edermişim. Yoksa bir haftada bütün teoremlerin ispatlarını tekrardan anlamaya çalışmak çok zorlayıcı oluyor. Kendime de not düşmüş oldum =)

Anahtarlanmış Doğrusal Sistemlere Giriş [PDF]

Hibrit Sistem Nedir?

Bizim bildiğimiz en genel anlamda iki tür sistem vardır diyebiliriz. Bunlar sürekli (continuous) ve ayrık (discrete) sistemlerdir. Bu iki sistemin birleşimi

olan sistemlere hibrit sistemler denir.

Sürekli Sistemler:

Sürekli bir giriş uygulandığında sürekli çıkış aldığımız sistemlerdir. Herhangi bir araba süspansiyonundan güneş piline kadar doğada da gözlemleyebileceğimiz çok çeşitli sistemleri kapsamaktadır.

Ayrık Sistemler:

Sürekli girişe rağmen ayrık çıkışlar aldığımız sistemlerdir. Bilgisayarlar, mantık devreleri gibi.

Anahtarlanmış Sistemler

Anahtarlanmış sistemler birden fazla sürekli sistemler kümemizden bir anahtarlama aracılığıyla birini aktif hale getirmemiz  ile elde edilen hibrit sistemlerdir. Bu anahtarlama olayı ayrık sistemdir ve kullanacağımız sürekli sistemi seçmemizi sağlar. Genel olarak simulinkte şu şekilde tasvir edebiliriz:

Scope’dan gördüğümüz şuna benzer bir şey olacaktır:

Burada anahtarlamayı rastgele yaptım ancak sistemin konumuna veya y çıkışına göre de ayarlanabileceği gibi sırf zamanın bir fonksiyonu olarak da

anahtarlama sinyali belirlenebilirdi. Simulink deki direkt kod yazarak simulinkte kullanmaya yarayan embedded matlab function bloğunu kullandım.

İçine

function y = fcn(u)
% guzelim anahtarlama fonksiyonu
% See the help menu for details.

if u>0.5
y=[0 1 0];
elseif u==0.3
y=[1 0 0];
else
y=[0 0 1];
end

dedim.

Burada [0 1 0] çıkışını almak demux  un ikinci çıkışını aktif hale getirmek oluyor. Ayrıca sistemleri aktifleştirmek için enabled subsystem bloklarını kullandım.

Sin Wave, constant ve randon kaynaklarıyla sistemlere giriş yaptım.

Bu anahtarlanmış sistemde sadece lineer sadece zamanla değişmeyen altsistemleri kullandım. Bu alt sistemlerin hepsi lineer olunca sistemimize anahtarlanmış lineer sistem denir.

Not: Resimler baya dandik çıkıyor sağ tıklayıp resme bak diyerek daha güzelini görebilirsiniz.

Aşağıdaki linkten gereken simulink dosyasını indirip matlabin work dizininde çalıştırarak kullanabilirsiniz.

simulink

Örnek başka bir sistem olarak da iki sistem içinden birincisini belirli bir zaman çalıştırıp ardından ikinci sistemin devreye sokulmasına bakalım:

Birinci sistemmimizin transfer fonksiyonu

2
—————–
s^2 + 2 s + 4

İkinci sistemimizin transfer fonksiyonu

2
—————–
s^2 + 2 s + 1

olsun.

Bu transfer fonksiyonlarını durum uzayı cinsinden yazdığımızda, yani u giriş işareti, y çıkış ve x de sistemin durumları olsun.

x = [x₁ x₂]^T (Trasnpozu)

dx(t)/dt = A x(t) + B u(t);

y(t) = C x(t) + B u(t);

Belirli bir x0 vaşlangıç noktasına göre x1 ‘in x2 ye göre değişim grafiğine sistemin yörüngesi adı verilir ve kararlılık incelemelerinde önemli bir kiriterdir.

Konusu açılmışken kararlılıktanda bahsedebiliriz:

Sistemlerin denge noktası dediğimiz sistem o noktada başlattığımızda hep o noktada sabit kalacağı noktalar vardır. Bu denge noktası zamanla değişmeyen lineer sistemlerde bir tane olur bu sebeple bu tek noktayı 0 olarak alabiliriz. Sistemi bu noktanın dışında başka bir noktada çalıştırmaya başladığımızda sistem bu noktaya yöneliyorsa sisteme kararlıdır deriz. Eğer direkt denge noktasına ulaşıyorsa asimptotik kararlı ulaşamasa bile belirli bir sınırın içinde kalıyorsa bu sisteme de Lyapunov kararlı deriz.

Sistemimizin yörüngesi (trajectory) x0=[1 3] seçilirse aşağıdaki gibi olur. Birinci sistem çok az bir farkla denge noktasına ulaşamamaktadır, lyapunov kararlıdır, ancak ikinci sistemin devreye girmesiyle asimptotik kararlı hale gelir.

Mavi yörünge sistemde hiçbir değişiklik yapmasaydık gözlemleyebileceğimiz yörüngedir kırmızı olan ise ikinci sistemin devreye girmesiyle oluşan yörüngedir.

Sistemin ve yörünge grafiğinin matlab kodu ise:

clear all
clc
s=tf(’s’);
a=0:.1:5.8281;
m=size(a,2);
i=0;
while i<m
i=i+1;
k=a(i);
if k<1
H=2/(s^2+2*s+4);
H=ss(H);
x0=[1, 3];
[y,t,x] = initial(H,x0);
x1=x(:,1);
x2=x(:,2);
plot(x1,x2)
xlabel(‘x1′)
ylabel(‘x2′)
hold on
legend(‘D1′)
elseif 1<=k
H=2/(s^2+2*s+1);
H=ss(H);
x0=[x1(11), x2(11)];
[y,t,x]=initial(H,x0);
x1=x(:,1);
x2=x(:,2);
plot(x1,x2,’red’)
legend(‘D2′);
else
p=3;
end
end

Burada kullandığımız iki sistem kararlı olmasına rağmen anahtarlama işaretine bağlı olarak kararsız hale gelebilmektedir. Bunun tam tersini de düşünebiliriz kararsız birden çok sistemi güzel bir şekilde anahtarlayarak kararlı hale getirebiliriz. Bu da ilk anahtarlanmış sistem problemimize götürür bizi:

Kararlılaştırıcı anahtarlama işaretinin bulunması. Bu problemi bir başka yazıda inceleyebiliriz.